Rを通じて統計学を学ぶ備忘録ブログ

SPSSからRに移行したい私のような人向けのR解説ブログ兼学習用備忘録。

第64回 畳み込み(合成積) ~Convolution~

久しぶりの更新です。ベイズもやっていく予定ですが、年末はRのグラフィック関係についてまとめていくことにします。そうといいながらも今回は例外的に「畳み込み」についてみていきます。畳み込みは確率分布の導出過程を勉強しているとでてきます。カイ二乗分布とかで畳み込みが出てきたような、、、もちろん他の確率分布でもでてきます。

そもそも畳み込みとは何でしょう。これは「関数が2つあったとすると、その2つの関数から1つの関数を作るための計算方法」です。統計学では主に「確率変数Xと確率変数Yの確率分布が与えられた時に、それを足し合わせた確率分布X+Yを求める」というような場面で合成積を用いて計算することになります。

確率分布を1つにまとめる過程で、結局、何がどうなっているのでしょうか。つまるところ、少しずつ添字(位置)をスライドさせながらかけて足していきます。それでは下記のサイコロの例を使って、みていきます。

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まず、4面体の出る目(底面の数)を表す確率変数Xと、6面体の出る目を表す確率変数Yがあるとします。これは互いに独立です。4面体の出る目は1/4、6面体の出る目は1/6です。この確率変数X,Yは常に一定の確率を返すことがわかります。インチキサイコロでなければですが。この2つの確率変数X,Yから、新たに T=X+Yという確率変数Tを考えることにします。Tの取りうる値は確率変数X,Yとは異なり、確率変数Tはもはや一定の値を返してくれません。

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こんな時に例えばt=4の確率を求めたい場合、どうしましょう。単純にx+y=4となる確率を考えればいいので、詳しくいうとx=0.1、y=3.9、x=0.2,y=3.8、x=0.3、y=3.7…という場合分けを足しあわせれば答えが出そうですね。 クロネッカーデルタはδは、t=x+y を満たす時に1、満たさない時は0をとる関数です。今回は満たさない場合は記述してません。f:id:teruaki-sugiura:20151229144233p:plain

 そして、これを一般化すると以下のようになります。

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以上で今回はおしまいです。